“Riktigt lika sant som sanning är det inte om det är sannolikt"
– Tage Danielsson, 1928-1985, författare, poet & geni
 
"Hoppet är förväxlingen mellan önskan om en händelse och dess sannolikhet"
- Arthur Schopenhauer, 1788-1860, filosof & författare

sannolikhet för en händelse
s a n n o l i k h e t

I de flesta situationer vet du att något ska hända, men inte säkert vad som kommer att hända. Sannolikheten att en viss händelse ska inträffa går att räkna ut.

Redan 1654 definierade de franska matematikerna Blaise Pascal och Pierre de Fermat en definition på klassisk sannolikhetsteori.

Sannolikhet innebär hur stor chans eller risk det är att något ska hända. För att olika händelser ska definieras med sannolikhet krävs att du kan beräkna chansen eller risken att de inträffar. Sannolikhet anges med ett tal mellan 0 och 1 där,

 

  • 0 = kommer aldrig att ske
    Ju närmare 0 desto mindre är sannolikheten att händelsen som undersöks kommer att inträffa.

  • 1 = kommer alltid att ske
    Ju närmare 1 desto större är sannolikheten att händelsen som
    undersöks kommer att inträffa.

 

Du beräknar sannolikhet genom att relatera antalet gynnsamma utfall till det totala antalet utfall. Formeln gäller likformig sannolikhetsfördelning, d v s att varje möjligt utfall är lika troligt att inträffa.

 

  • Antalet gynnsamma utfall
    Alla utfall av händelsen som du är intresserad och som inträffar.

  • Totala antalet utfall
    Alla möjliga händelser som kan inträffa.

  • P(probability)
    Sannolikhetsmåttet kallas för P(x).

 

Klassisk sannolikhet
= antalet gynnsamma utfall ÷ totala antalet utfall.

exempel, sannolikhet
s a n n o l i k h e t

Beräkna sannolikheten att du kommer att slå en etta, en tvåa eller en trea med en vanlig tärning med sex sidor.

 

  • Antalet gynnsamma utfall = sidorna 1, 2 & 3 = 3 sidor.
    Totala antalet utfall = sidorna 1, 2, 3, 4, 5 & 6 = 6 sidor.

  • Sannolikhet
    = antalet gynnsamma utfall ÷ totala antalet utfall.
    = 3 ÷ 6.
    = 0,50.
    = 50 %.

exempel, sannolikhet
s a n n o l i k h e t

I december ska Emma gå och se Nötknäpparen på Kungliga Operan i Stockholm. Eftersom det är kallt utomhus tänker hon ta på sig en mössa.

Emma har tio mössor att välja på. Tre är randiga, fem är kolorerade och två är svarta. Beräkna sannolikheten att Emma drar upp en svart mössa ur hennes byrålåda.

 

  • Antalet gynnsamma utfall = 2 svarta mössor.
    Totala antalet utfall = 10 olika mössor.
  • Sannolikhet
    = antalet gynnsamma utfall ÷ totala antalet utfall.
    = 2 ÷ 10.
    = 0,20.
    = 20 %.
chans & risk

s a n n o l i k h e t

När du pratar om sannolikhet är det sannolikt att du använder dig av begreppen chans och risk. Chans innebär något positivt som du vill ska inträffa och risk innebär något negativt som du inte vill ska inträffa.

- Hur stor chans har du att slå sex sexor i Yatsi?
- Hur stor är risken att det ska regna imorgon?

utfall, ω

s a n n o l i k h e t

Resultatet av ett slumpmässigt försök.

händelse

s a n n o l i k h e t

En samling utfall kallas för en händelse. Det som faktiskt sker [händer] vid ett slumpmässigt försök; själva utfallet eller flera utfall. När du t ex drar en knekt ur en kortlek och sen drar en 5:a ur samma kortlek. Dessa två utfall är en händelse.

komplementhändelse

s a n n o l i k h e t

I vissa fall kan du beräkna sannolikheten för det som inte händer.

De utfall som inte ingår i en given händelse, d v s de utfall som inte sker när du gör ett slumpmässigt försök. Komplementhändelsen till att du slår en 6:a med en sexsidig tärning är att du slår något annat än en 6:a; du slår 1, 2, 3, 4, eller 5.

När du adderar sannolikheten för en händelse och sannolikheten för dess komplementhändelse ska summan bli 1. Antingen sker händelsen eller sker dess komplementhändelse.

utfallrum, Ω

s a n n o l i k h e t

Mängden av alla möjliga utfall i ett slumpmässigt försök. I "rummet” ryms både händelse och komplementhändelse.

 

sannolikhet för flera händelser
s a n n o l i k h e t

I många situationer påverkas sannolikheten av flera olika händelser.

 

  • Beroende händelser
    Den första händelsen påverkar sannolikheten för att den andra händelsen inträffar.

  • Oberoende händelser
    Den första händelsen påverkar inte sannolikheten för att den
    andra händelsen inträffar.

experimentell sannolikhet
s a n n o l i k h e t

I många situationer kan du på förhand inte veta hur stor sannolikhet det är att något utfall kommer att ske. För att kunna uppskatta en sannolikhet måste du testa dig fram. Efter varje test beräknas testets relativa frekvens med hjälp av formeln för klassisk sannolikhetsdefinition.

 

Sannolikhet
= antalet gynnsamma utfall ÷ totala antalet utfall.

 

Dina tester kommer endast att uppskatta sannolikheterna. Ju fler tester som görs, desto säkrare blir dina resultat.

beroende händelser
s a n n o l i k h e t

I många situationer påverkas sannolikheten av flera olika händelser. En beroende händelse innebär att första händelsen påverkar sannolikheten för att en andra händelse inträffar.

 

Exempel
Beräkna sannolikheten för att slumpmässigt dra ut en dam ur en vanlig kortlek med 52 kort och därefter göra samma sak med med en knekt. Du ska inte stoppa tillbaka korten.

 

  • Antalet gynnsamma utfall = 4 damer.
    Totala antalet utfall = 52 kort.

    P(dam) = 4/52.

  • Antalet gynnsamma utfall = 4 knektar.
    Totala antalet utfall = 51 kort [en dam har plockats bort].

    P(knekt efter dam) = 4/51.

  • P(först dam sedan knekt) = P(dam) x P(knekt efter dam)
    = 4/52 x 4/51.
    = 16/2652.
    = 4/663.
    ≈ 0,006.
    ≈ 0,6 %.

    Svar
    Sannolikheten för att du först ska dra en dam och sedan en knekt är ungefär 0,6 %.

oberoende händelser
s a n n o l i k h e t

I många situationer påverkas sannolikheten av flera olika händelser. En oberoende händelse innebär att den första händelsen inte påverkar sannolikheten för att den andra händelsen inträffar.

 

Exempel
Beräkna sannolikheten för att slumpmässigt först slå en 1:a och därefter slå en 4:a med en vanlig sexsidig tärning.

 

  • Antalet gynnsamma utfall = 1 rätt siffra [1:a]
    Totala antalet utfall = 6 möjliga siffror.

    P(1:a) = 1/6.

  • Antalet gynnsamma utfall = 1 rätt siffra [4:a].
    Totala antalet utfall = 6 möjliga siffror.

    P(4:a) = 1/6.

  • P(först 1:a sedan 4:a) = P(1:a) x P(4:a)
    = 1/6 x 1/6.
    = 1/36.
    ≈ 0,028.
    ≈ 2,8 %.

    Svar
    Sannolikheten för att du först ska slå en 1:a och därefter slå en 4:a är ungefär 2,8 %.
 
 

algebra »

ränta & banklån »
butiksmatematik »
index »
moms »
procenträkning »

« sannolikhet

statistik »